미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} - x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.2

$x^{2} - x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.9

$2 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.4

$- x \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.2

$x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.2.1

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.2.2

$x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.3

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

단계 1.2.3.2

$1 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$1 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$1 + x = 0$

단계 1.2.3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.3.3

$1 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$1 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$1 - x = 0$

단계 1.2.3.3.2

$1 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 1.2.3.3.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.2.3.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.2.3.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.2.3.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 1.2.3.4

$(1 + x) (1 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

단계 1.4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

단계 1.4.1.2.1.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1}{2 + 1}$

단계 1.4.1.2.1.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1}{3}$

단계 1.4.1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3}$

단계 1.4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

단계 1.4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

단계 1.4.2.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

단계 1.4.2.2.1.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{0 + 1}$

단계 1.4.2.2.1.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1}$

단계 1.4.2.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1$

단계 1.4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

단계 2

구간에 없는 점은 제외합니다.

$(1, 1)$

단계 3

포함된 끝점에서 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

단계 3.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

단계 3.1.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

단계 3.1.2.1.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0 + 1}$

단계 3.1.2.1.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1}$

단계 3.1.2.2

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0$

단계 3.2

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

단계 3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

단계 3.2.2.3

$9$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{6 + 1}$

단계 3.2.2.4

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3}{7}$

단계 3.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

단계 4

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(1, 1)$

절댓값 최소: $(0, 0)$

단계 5