미적분 예제

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x y + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

단계 3

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

단계 5.2

$x y' + 2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

단계 5.2.2

$2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

단계 5.2.3

$y' (x) + y' (2 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

단계 5.3

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ 의 각 항을 $x + 2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ 의 각 항을 $x + 2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$x + 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.2

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.3

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.4

$- (2 x) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

$- (2 x + y)$ 을 $- 1 (2 x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

단계 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ 으로 두고 $y$ 로 표현된 $x$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x + y = 0$

단계 7.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$2 x = - y$

단계 7.2.2

$2 x = - y$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2 x = - y$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

단계 7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

단계 7.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- y}{2}$

단계 7.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{y}{2}$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1.1

$- \frac{y}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.1.2

$\frac{y}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.3

$\frac{y^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.5

$(- \frac{y}{2}) y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.5.1

$y$ 와 $\frac{y}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.5.2

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.5.3

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

단계 8.1.1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

단계 8.1.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$\frac{y^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

단계 8.1.2.2

$\frac{y^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

단계 8.1.2.3

$y^{2}$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

단계 8.1.2.4

$\frac{y^{2}}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

단계 8.1.2.5

$\frac{y^{2}}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

단계 8.1.2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

단계 8.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

단계 8.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

단계 8.1.4.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

단계 8.1.5

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.5.1

$y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

단계 8.1.5.2

$- y^{2}$ 를 $4 y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

단계 8.2

방정식의 양변에 $\frac{4}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

단계 8.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

조합합니다.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

단계 8.3.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

단계 8.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

단계 8.3.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

단계 8.3.1.1.3.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

단계 8.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\frac{4}{3} \cdot 27$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

단계 8.3.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

단계 8.3.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

단계 8.3.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$y^{2} = 36$

단계 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

단계 8.5

$\pm \sqrt{36}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

단계 8.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm 6$

단계 8.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = 6$

단계 8.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - 6$

단계 8.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = 6, - 6$

단계 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

괄호를 제거합니다.

$x = - \frac{6}{2}$

단계 9.2

$- \frac{6}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$6$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = - 1 \cdot 3$

단계 9.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = - 3$

단계 10

$- \frac{- 6}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 6$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = - - 3$

단계 10.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = 3$

단계 11

$\frac{d y}{d x} = 0$ 인 점을 구합니다.

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

단계 12