미적분 예제

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

단계 1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

단계 2

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$x^{2} - 2 + 0$

단계 3.4.2

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} - 2$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} - 2 = 0$ 을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 4.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 4.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 4.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 5

원래 함수 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 을 $x = \sqrt{2}$ 에서 풉니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

단계 5.2.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

단계 5.2.1.3

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.2.1.3.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

단계 5.2.1.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

단계 5.2.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 \sqrt{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

단계 5.2.3

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.3.1

$- 2 \sqrt{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

단계 5.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

단계 5.2.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 5.2.4.1.2

$2 \sqrt{2}$ 에서 $6 \sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 5.2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 5.2.5

최종 답은 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ 입니다.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 6

원래 함수 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 을 $x = - \sqrt{2}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.3

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.5

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.5.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.1.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

단계 6.2.1.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

단계 6.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 \sqrt{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

단계 6.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$2 \sqrt{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

단계 6.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

단계 6.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 6.2.4.2

$- 2 \sqrt{2}$ 를 $6 \sqrt{2}$ 에 더합니다.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 6.2.5

최종 답은 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ 입니다.

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 7

함수 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 의 수평 접선은 $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ 입니다.

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

단계 8