미적분 예제

$f (x) = x \ln (x^{2})$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4.2

$\frac{2}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4.3.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

단계 1.3.6

$\ln (x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \ln (x^{2})$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 + \ln (x^{2}) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\ln (x^{2}) = - 2$

단계 2.2

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

단계 2.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{2}) = - 2$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2} = x^{2}$

단계 2.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.1

$x^{2} = e^{- 2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} = e^{- 2}$

단계 2.4.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

단계 2.4.3

$\pm \sqrt{e^{- 2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

단계 2.4.3.2

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

단계 2.4.3.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

단계 2.4.3.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{1}{e}$

단계 2.4.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.4.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{1}{e}$

단계 2.4.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{1}{e}$

단계 2.4.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

단계 3

원래 함수 $f (x) = x \ln (x^{2})$ 을 $x = \frac{1}{e}$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{e}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{e}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

단계 3.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{2}$ 를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

단계 3.2.3

$\ln (1^{2} e^{- 2})$ 을 $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

단계 3.2.4

로그 공식을 이용해 지수에서 $- 2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

단계 3.2.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

단계 3.2.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

단계 3.2.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.7.1

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (1^{2})$ 을 전개합니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

단계 3.2.7.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

단계 3.2.7.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

단계 3.2.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.8.1

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

단계 3.2.8.2

$\frac{1}{e}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

단계 3.2.8.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

단계 3.2.9

최종 답은 $- \frac{2}{e}$ 입니다.

$- \frac{2}{e}$

단계 4

원래 함수 $f (x) = x \ln (x^{2})$ 을 $x = - \frac{1}{e}$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{e}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.2.1.1

$- \frac{1}{e}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

단계 4.2.1.2

$\frac{1}{e}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

단계 4.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

단계 4.2.3

$\frac{1^{2}}{e^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

단계 4.2.4

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{2}$ 를 분자로 이동합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

단계 4.2.5

$\ln (1^{2} e^{- 2})$ 을 $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

단계 4.2.6

로그 공식을 이용해 지수에서 $- 2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

단계 4.2.7

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

단계 4.2.8

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

단계 4.2.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (1^{2})$ 을 전개합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

단계 4.2.9.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

단계 4.2.9.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

단계 4.2.10

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

단계 4.2.11

$- \frac{1}{e} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.11.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

단계 4.2.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

단계 4.2.12

최종 답은 $\frac{2}{e}$ 입니다.

$\frac{2}{e}$

단계 5

함수 $f (x) = x \ln (x^{2})$ 의 수평 접선은 $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ 입니다.

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

단계 6