미적분 예제

$y = x^{4} - 2 x + 1$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

단계 2

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 x^{3} - 2 + 0$

단계 2.3.2

$4 x^{3} - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 2$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 2 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$4 x^{3} = 2$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$4 x^{3} - 2 = 0$

단계 3.3

$4 x^{3} - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

단계 3.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

단계 3.3.3

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

단계 3.4

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 3.4.2.1.2

$2 x^{3} - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} - 1 = 0$

단계 3.5

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x^{3} = 1$

단계 3.6

$2 x^{3} = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$2 x^{3} = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

단계 3.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

단계 3.6.2.1.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = \frac{1}{2}$

단계 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

단계 3.8

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

단계 3.8.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.8.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.8.4.2

$\sqrt[3]{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.8.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

단계 3.8.4.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

단계 3.8.4.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.8.4.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.8.4.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.8.4.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.8.4.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

단계 3.8.4.5.5

지수값을 계산합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

단계 3.8.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.5.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

단계 3.8.5.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

단계 4

원래 함수 $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ 을 $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

${\sqrt[3]{4}}^{4}$ 을 $\sqrt[3]{4^{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.2.2

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.2.3

$256$ 을 $4^{3} \cdot 4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.3.1

$256$ 에서 $64$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.2.3.2

$64$ 을 $4^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.2.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.4

$4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.4.1

$4 \sqrt[3]{4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.4.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

단계 4.2.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.5.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

단계 4.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

단계 4.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

단계 4.2.1.6

$- 1 \sqrt[3]{4}$ 을 $- \sqrt[3]{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

단계 4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \sqrt[3]{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

단계 4.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$- \sqrt[3]{4}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

단계 4.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

단계 4.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

단계 4.2.4.1.2

$\sqrt[3]{4}$ 에서 $4 \sqrt[3]{4}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

단계 4.2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

단계 4.2.5

최종 답은 $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ 입니다.

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

단계 5

함수 $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ 의 수평 접선은 $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ 입니다.

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

소수 형태:

$y = - 0.19055078 \dots$

단계 7