미적분 예제

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

단계 1

$1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 를 옮깁니다.

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

단계 1.2

$40 x^{3}$ 와 $- 3 x^{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

단계 2

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

단계 3

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{5}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.2.3

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$40$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $40 x^{3}$ 의 미분은 $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3.3

$3$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

단계 3.4.2

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

단계 4.1.2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

단계 4.1.3

$- 15 u^{2} + 120 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 15 u^{2}$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (- u) + 120 u = 0$

단계 4.1.3.2

$120 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

단계 4.1.3.3

$15 u (- u) + 15 u (8)$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (- u + 8) = 0$

단계 4.1.4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

단계 4.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

단계 4.3

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.3.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 4.4

$- x^{2} + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- x^{2} + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x^{2} + 8 = 0$

단계 4.4.2

$- x^{2} + 8 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 8$

단계 4.4.2.2

$- x^{2} = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1

$- x^{2} = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 4.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 4.4.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 4.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.3.1

$- 8$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 8$

단계 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

단계 4.4.2.4

$\pm \sqrt{8}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.4.1

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.4.1.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

단계 4.4.2.4.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

단계 4.4.2.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

단계 4.4.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 \sqrt{2}$

단계 4.4.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 \sqrt{2}$

단계 4.4.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

단계 4.5

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

단계 5

원래 함수 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 을 $x = 0$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

단계 5.2.1.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

단계 5.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

단계 5.2.1.4

$40$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 1$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

단계 5.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6

원래 함수 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 을 $x = 2 \sqrt{2}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2 \sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.2

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ 을 $\sqrt{2^{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.4

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.5

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.5.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.5.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.7

$4$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.8

$128$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 6.2.1.9

$2 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

단계 6.2.1.10

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

단계 6.2.1.11

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

단계 6.2.1.12

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

단계 6.2.1.13

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.13.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

단계 6.2.1.13.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

단계 6.2.1.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

단계 6.2.1.15

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

단계 6.2.1.16

$16$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

단계 6.2.2

$- 384 \sqrt{2}$ 를 $640 \sqrt{2}$ 에 더합니다.

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $256 \sqrt{2} + 1$ 입니다.

$256 \sqrt{2} + 1$

단계 7

원래 함수 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 을 $x = - 2 \sqrt{2}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2 \sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 2 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.2

$- 2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ 을 $\sqrt{2^{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.4

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.5

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.5.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.5.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.7

$4$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.8

$- 128$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

단계 7.2.1.9

$- 2 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

단계 7.2.1.10

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

단계 7.2.1.11

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 $\sqrt{2^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

단계 7.2.1.12

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

단계 7.2.1.13

$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.13.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

단계 7.2.1.13.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

단계 7.2.1.14

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

단계 7.2.1.15

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

단계 7.2.1.16

$- 16$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

단계 7.2.2

$384 \sqrt{2}$ 에서 $640 \sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 256 \sqrt{2} + 1$ 입니다.

$- 256 \sqrt{2} + 1$

단계 8

함수 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 의 수평 접선은 $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ 입니다.

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

단계 9