미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.4.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.2

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

미분값이 $0$ 이 되는 해가 없으므로( $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ ), 수평접선은 존재하지 않습니다.

수평 접선 없음

단계 4