미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$

단계 1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $36 x^{2}$ 의 미분은 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [192 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$192$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $192 x$ 의 미분은 $192 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} + 72 x + 192 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 72 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.4.3

$192$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 72 x + 192 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$6 x^{2} + 72 x + 192 + 0$

단계 1.5.2

$6 x^{2} + 72 x + 192$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x^{2} + 72 x + 192$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 72 x + 192 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$6 x^{2} + 72 x + 192$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 72 x + 192 = 0$

단계 2.1.1.2

$72 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 192 = 0$

단계 2.1.1.3

$192$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

단계 2.1.1.4

$6 x^{2} + 6 (12 x)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

단계 2.1.1.5

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

단계 2.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 12 x + 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $32$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$4, 8$

단계 2.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x + 4) (x + 8)) = 0$

단계 2.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x + 4) (x + 8) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

단계 2.3

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.4

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 2.5

$6 (x + 4) (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, - 8$

단계 3

원래 함수 $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ 을 $x = - 4$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

단계 3.2.1.2

$2$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = - 128 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

단계 3.2.1.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 4) = - 128 + 36 \cdot 16 + 192 (- 4) + 7$

단계 3.2.1.4

$36$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = - 128 + 576 + 192 (- 4) + 7$

단계 3.2.1.5

$192$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = - 128 + 576 - 768 + 7$

단계 3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 128$ 를 $576$ 에 더합니다.

$f (- 4) = 448 - 768 + 7$

단계 3.2.2.2

$448$ 에서 $768$ 을 뺍니다.

$f (- 4) = - 320 + 7$

단계 3.2.2.3

$- 320$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f (- 4) = - 313$

단계 3.2.3

최종 답은 $- 313$ 입니다.

$- 313$

단계 4

원래 함수 $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ 을 $x = - 8$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 8$ 을 대입합니다.

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 8$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

단계 4.2.1.2

$2$ 에 $- 512$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 1024 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

단계 4.2.1.3

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 8) = - 1024 + 36 \cdot 64 + 192 (- 8) + 7$

단계 4.2.1.4

$36$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 1024 + 2304 + 192 (- 8) + 7$

단계 4.2.1.5

$192$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 1024 + 2304 - 1536 + 7$

단계 4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 1024$ 를 $2304$ 에 더합니다.

$f (- 8) = 1280 - 1536 + 7$

단계 4.2.2.2

$1280$ 에서 $1536$ 을 뺍니다.

$f (- 8) = - 256 + 7$

단계 4.2.2.3

$- 256$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f (- 8) = - 249$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 249$ 입니다.

$- 249$

단계 5

함수 $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ 의 수평 접선은 $y = - 313, y = - 249$ 입니다.

$y = - 313, y = - 249$

단계 6