미적분 예제

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} - 4 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$12 x - 4 + 0$

단계 1.4.2

$12 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x - 4$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x - 4 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$12 x = 4$

단계 2.2

$12 x = 4$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$12 x = 4$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

단계 2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{4}{12}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$4$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.1.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 (1)}{12}$

단계 2.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.1.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

단계 2.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

단계 2.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 3

원래 함수 $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ 을 $x = \frac{1}{3}$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.4.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.4.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.5

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

단계 3.2.1.6

$- 4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

단계 3.2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

단계 3.2.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

단계 3.2.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.2.1

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

단계 3.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

단계 3.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 3.2.4

$5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

단계 3.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

단계 3.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.6.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

단계 3.2.6.2

$15$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

단계 3.2.7

최종 답은 $\frac{13}{3}$ 입니다.

$\frac{13}{3}$

단계 4

함수 $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ 의 수평 접선은 $y = \frac{13}{3}$ 입니다.

$y = \frac{13}{3}$

단계 5