미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

단계 1.1.3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

단계 1.1.3.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.3.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

단계 1.1.3.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

단계 1.1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

단계 1.2

$n = - \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

단계 1.6.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

단계 1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

단계 1.8

간단히 합니다.

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단계 1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.8.2

항을 묶습니다.

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단계 1.8.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

단계 1.8.2.2

$x^{\frac{5}{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 2.2

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

미분값이 $0$ 이 되는 해가 없으므로( $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ ), 수평접선은 존재하지 않습니다.

수평 접선 없음

단계 4