미적분 예제

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$

단계 1

Set each solution of $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 100 x y \to f (x) = 100 x y$

단계 2

Because the $y$ variable in the equation $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y)$

단계 2.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 2.2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

단계 2.2.6.2

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

$100$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $100 x y$ 의 미분은 $100 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$100 \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$100 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$100 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$100 (x y' + y \cdot 1)$

단계 2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$100 (x y' + y)$

단계 2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$100 x y' + 100 y$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.5

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.6

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.7

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.7.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.7.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.7.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.7.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.1.4.8

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 x y' + 100 y$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $100 x y'$ 를 뺍니다.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y$

단계 2.5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

방정식의 양변에서 $12 x^{3}$ 를 뺍니다.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3}$

단계 2.5.3.2

방정식의 양변에서 $12 x y^{2}$ 를 뺍니다.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

단계 2.5.4

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$12 y y' x^{2}$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (3 y x^{2}) + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

단계 2.5.4.2

$12 y^{3} y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

단계 2.5.4.3

$- 100 x y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

단계 2.5.4.4

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3})$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

단계 2.5.4.5

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x)$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

단계 2.5.5

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ 의 각 항을 $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ 의 각 항을 $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 2.5.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.2.2

$3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 2.5.5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.1

$100$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.1.1

$100 y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.2

$- 12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.2.1

$- 12 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{(3) x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.4

$- 12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.4.1

$- 12 x y^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

단계 2.5.5.3.1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

단계 2.5.5.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

단계 2.5.5.3.2

하나의 분수로 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

단계 2.5.5.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

단계 2.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

단계 3

The roots of the derivative $\frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

단계 4