미적분 예제

$2 \cos (2 x)$

단계 1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (2 x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

단계 1.3.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin (2 x)$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 \sin (2 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 4 \sin (2 x) = 0$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- 4 \sin (2 x) = 0$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

단계 2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

단계 2.1.2.1.2

$\sin (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

단계 2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$0$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\sin (2 x) = 0$

단계 2.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arcsin (0)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 x = 0$

단계 2.4

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.4.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 2.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 2.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$2 x = π - 0$

단계 2.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x = π + 0$

단계 2.6.1.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x = π$

단계 2.6.2

$2 x = π$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$2 x = π$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

단계 2.6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

단계 2.6.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 2.7

$\sin (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 2.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 2.7.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.8

함수 $\sin (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, \frac{π}{2} + π n$

단계 2.9

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π n}{2}$

단계 3

원래 함수 $f (x) = 2 \cos (2 x)$ 을 $x = \frac{π}{2}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

단계 3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

단계 3.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

단계 3.2.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

단계 3.2.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

단계 3.2.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

단계 3.2.5

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$- 2$

단계 4

함수 $f (x) = 2 \cos (2 x)$ 의 수평 접선은 $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ 입니다.

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

단계 5