미적분 예제

$y^{2} - x y - 12 = 0$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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단계 1.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - x$ , $c = - 12$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1.4.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.4.2

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 1.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.4.1.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.1.4.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.4.2

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 1.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 1.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.4.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.4.2

$- 4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 1.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 1.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} - x y - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.4

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

단계 3.2.5

간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

단계 3.2.5.2

$2 y y' - x y' - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y y' - x y' - y$

단계 3.3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' - x y' - y = 0$

단계 3.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.5.1

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$2 y y' - x y' = y$

단계 3.5.2

$2 y y' - x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1

$2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 y) - x y' = y$

단계 3.5.2.2

$- x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

단계 3.5.2.3

$y' (2 y) + y' (- x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 y - x) = y$

단계 3.5.3

$y' (2 y - x) = y$ 의 각 항을 $2 y - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.1

$y' (2 y - x) = y$ 의 각 항을 $2 y - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

단계 3.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.2.1

$2 y - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

단계 3.5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

단계 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

단계 5