미적분 예제

$x^{3} + x$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 1$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} + 1 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} = - 1$

단계 2.2

$3 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$3 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

단계 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

단계 2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$- \frac{1}{3}$ 을 $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.4.1.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

단계 2.4.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

단계 2.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

단계 2.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 2.4.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

단계 2.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 2.4.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 2.4.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 2.4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 2.4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 2.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 2.4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.4.8

$i$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 3

허수점에서의 접선은 존재하지 않습니다. $x =$ 에서의 점은 실수좌표계에 존재하지 않습니다.

해 에서의 접선을 구할 수 없습니다

단계 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + x$ .

No horizontal tangent lines

단계 5