미적분 예제

$x^{3} + y^{3} = 7$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $x^{3}$ 를 뺍니다.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

단계 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

미분합니다.

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단계 3.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 3.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

단계 3.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$0$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

단계 3.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.5.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

단계 3.5.2

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.3.1

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.3.1.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.3.1.2.1

$3 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

단계 3.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

단계 3.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

단계 3.5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 4.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

단계 5.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

단계 5.2.3

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

단계 5.2.4

최종 답은 $\sqrt[3]{7}$ 입니다.

$\sqrt[3]{7}$

단계 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$y = \sqrt[3]{7}$

소수 형태:

$y = 1.91293118 \dots$

단계 8