미적분 예제

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

단계 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

단계 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

단계 2.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.2.1

미분합니다.

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단계 2.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x y' + y \cdot 1)$

단계 2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x y' + y)$

단계 2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x y' + 2 y$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

단계 2.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

방정식의 양변에서 $2 x y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.3

$3 y^{2} y' - 2 x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.3.1

$3 y^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.3.2

$- 2 x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.3.3

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.4

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y^{2} - 2 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 y^{2} - 2 x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

단계 2.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.2.1

$3 y^{2} - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

단계 2.5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

단계 2.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

단계 2.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

단계 3.2.2

$- 3 x^{2} = - 2 y$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$- 3 x^{2} = - 2 y$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

단계 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

단계 3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

단계 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

단계 3.2.4

$\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

단계 3.2.4.2

$\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 3.2.4.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 3.2.4.3.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 3.2.4.3.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 3.2.4.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 3.2.4.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 3.2.4.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.2.4.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.2.4.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.4.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.2.4.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 3.2.4.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

단계 3.2.4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.4.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

단계 3.2.4.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

단계 3.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

단계 3.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

단계 3.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

단계 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 와 $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

단계 4.2.2

$\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

단계 4.2.3

최종 답은 $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ 입니다.

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

단계 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

단계 5.2.1.2

$- 2$ 와 $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

단계 5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

단계 5.2.3

$y$ 와 $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

단계 5.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

단계 5.2.5

최종 답은 $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ 입니다.

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

단계 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

단계 7