미적분 예제

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$x^{2} - 3 + 0$

단계 1.4.2

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} - 3$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} - 3 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 을 $x = \sqrt{3}$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\sqrt{3}$ 을 대입합니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

${\sqrt{3}}^{3}$ 을 $\sqrt{3^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.3

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.2.1.3.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.3.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.5.1

$3 \sqrt{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.2

$\sqrt{3}$ 에서 $3 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

단계 3.2.3

최종 답은 $- 2 \sqrt{3} + 2$ 입니다.

$- 2 \sqrt{3} + 2$

단계 4

원래 함수 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 을 $x = - \sqrt{3}$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \sqrt{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$- \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.3

${\sqrt{3}}^{3}$ 을 $\sqrt{3^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.5

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.1.5.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.5.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.7.1

$- (3 \sqrt{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

단계 4.2.1.8

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

단계 4.2.2

$- \sqrt{3}$ 를 $3 \sqrt{3}$ 에 더합니다.

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

단계 4.2.3

최종 답은 $2 \sqrt{3} + 2$ 입니다.

$2 \sqrt{3} + 2$

단계 5

함수 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ 의 수평 접선은 $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ 입니다.

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

단계 6