미적분 예제

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

단계 1.2

$\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

단계 1.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

단계 1.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

단계 1.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

단계 1.3.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

단계 1.3.4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

단계 1.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

${(y - 2)}^{2}$ 을 $(y - 2) (y - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

단계 3.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(y - 2) (y - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

단계 3.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

단계 3.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

단계 3.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

단계 3.2.3.1.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

단계 3.2.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

단계 3.2.3.2

$- 2 y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

단계 3.2.4

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 4 y + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.5.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.7

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 y$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.9

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$2 y y' - 4 y' + 0$

단계 3.2.10

$2 y y' - 4 y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y y' - 4 y'$

단계 3.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 (x - 3)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 3.3.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$4 (1 + 0)$

단계 3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \cdot 1$

단계 3.3.5.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' - 4 y' = 4$

단계 3.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$2 y y' - 4 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' y - 4 y' = 4$

단계 3.5.1.2

$- 4 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

단계 3.5.1.3

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (y - 2) = 4$

단계 3.5.2

$2 y' (y - 2) = 4$ 의 각 항을 $2 (y - 2)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$2 y' (y - 2) = 4$ 의 각 항을 $2 (y - 2)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.2.2

$y - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

단계 3.5.2.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2}{y - 2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 4.2

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 5

미분값이 $0$ 이 되는 해가 없으므로( $\frac{2}{y - 2} = 0$ ), 수평접선은 존재하지 않습니다.

수평 접선 없음

단계 6