미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{4} - 16 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}$

단계 2.1.2

$- 16 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}$

단계 2.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}$

단계 2.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}$

단계 2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 4) (x - 4)}$

단계 2.4

$x^{2} (x + 4) (x - 4)$ 을 $x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 2^{2}) (x - 4)}$

단계 2.4.2

괄호를 표시합니다.

$f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}$

단계 2.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (x) = x \sqrt{(x + 2^{2}) (x - 4)}$

단계 2.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 4) ((- x) - 4)}$

단계 3.2

괄호를 제거합니다.

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$- x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)} = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ 이므로 이 함수는 우함수입니다.

우함수입니다

단계 5

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 6

함수가 우함수이므로 y축에 대해 대칭입니다.

Y축 대칭

단계 7