미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

단계 3.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

단계 3.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

단계 3.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

단계 3.3.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

단계 3.3.3

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

단계 3.3.4

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

단계 3.3.5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

단계 3.3.6

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

단계 3.3.7

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

단계 3.3.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.8.1

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

단계 3.3.8.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

단계 3.3.8.3

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ 이므로 이 함수는 우함수가 아닙니다.

이 함수는 우함수가 아님

단계 5

$f (- x) = - f (x)$ 인 경우 함수는 기함수입니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.2

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ 이므로 이 함수는 기함수가 아닙니다.

이 함수는 기함수가 아님

단계 6

이 함수는 우함수도 기함수도 아님

단계 7

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 8

함수가 우함수가 아니므로, y축에 대해 대칭이 아닙니다.

y축 대칭 없음

단계 9

함수가 기함수도 아니고 우함수도 아니므로, 원점/y축에 대해 대칭이 아닙니다.

함수가 대칭이 아님

단계 10