미적분 예제

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

단계 1

해당 점이 주어진 함수의 그래프 위에 있는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x = 1$ 에서 $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

단계 1.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

단계 1.1.2.1.2

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 1 - 5 + 6$

단계 1.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 4 + 6$

단계 1.1.2.2.2

$- 4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (1) = 2$

단계 1.1.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 1.2

$2 = 2$ 이므로 그래프 위에 있는 점입니다.

그래프 위에 있는 점입니다

단계 2

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 의 도함수 $=$ $m$

단계 3

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 4

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.3.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.3.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.3.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

단계 4.1.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

단계 4.1.2.2

최종 답은 $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ 입니다.

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

단계 4.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 5 x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

단계 4.2.2

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

단계 4.2.3

$2 h x$ 와 $h^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

단계 4.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

단계 5

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

단계 6.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

단계 6.1.2.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

단계 6.1.3

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

단계 6.1.4

$h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

단계 6.1.5

$- 5 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

단계 6.1.6

$h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

단계 6.1.7

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

단계 6.1.8

$h^{2} + 2 h x - 5 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

단계 6.1.9

$h^{2} + 2 h x - 5 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.9.1

$h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

단계 6.1.9.2

$2 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

단계 6.1.9.3

$- 5 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

단계 6.1.9.4

$h (h) + h (2 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

단계 6.1.9.5

$h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

단계 6.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

단계 6.2.1.2

$h + 2 x - 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

단계 6.2.2

$h$ 와 $2 x$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

단계 7

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

단계 7.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 x$ 의 극한을 구합니다.

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

단계 7.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

단계 8

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x - 1 \cdot 5$

단계 9.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 x - 5$

단계 10

$2 (1) - 5$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = 2 - 5$

단계 10.2

$2$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$m = - 3$

단계 11

기울기는 $m = - 3$ 이고 점은 $(1, 2)$ 입니다.

$m = - 3, (1, 2)$

단계 12

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

단계 12.2

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (- 3) \cdot x + b$

단계 12.3

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

단계 12.4

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

단계 12.5

$b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

단계 12.5.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 + b = 2$

단계 12.5.3

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.3.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$b = 2 + 3$

단계 12.5.3.2

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$b = 5$

단계 13

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = - 3 x + 5$

단계 14