미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

단계 1

해당 점이 주어진 함수의 그래프 위에 있는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x = 0$ 에서 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

단계 1.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{1}{1}$

단계 1.1.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (0) = 1$

단계 1.1.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 1.2

$1 = 1$ 이므로 그래프 위에 있는 점입니다.

그래프 위에 있는 점입니다

단계 2

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 의 도함수 $=$ $m$

단계 3

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 4

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

단계 4.1.2.2

최종 답은 $\frac{1}{x + h + 1}$ 입니다.

$\frac{1}{x + h + 1}$

단계 4.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

단계 5

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x + h + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

단계 6.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

단계 6.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h + 1) (x + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

$\frac{1}{x + h + 1}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

단계 6.1.3.2

$\frac{1}{x + 1}$ 에 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.3.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.5

인수분해된 형태로 $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.5.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.5.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.5.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.5.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.5.6

$- h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 6.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 6.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 6.3.2

$- h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 6.3.3

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 6.3.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

단계 6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

단계 7.2

$\frac{1}{x + 1}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

단계 7.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

단계 7.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

단계 7.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

단계 7.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

단계 7.7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

단계 8

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

단계 9.2

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$\frac{1}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

단계 9.2.2

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

단계 9.2.3

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

단계 9.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

단계 9.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 10

기울기 $m$ 을 구합니다. 여기에서는 $m = - 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

괄호를 제거합니다.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 10.2

괄호를 제거합니다.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

단계 10.3

$- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

단계 10.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$m = - \frac{1}{1}$

단계 10.3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$m = - \frac{1}{1}$

단계 10.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$m = - 1 \cdot 1$

단계 10.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = - 1$

단계 11

기울기는 $m = - 1$ 이고 점은 $(0, 1)$ 입니다.

$m = - 1, (0, 1)$

단계 12

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

단계 12.2

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (- 1) \cdot x + b$

단계 12.3

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

단계 12.4

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

단계 12.5

$b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

단계 12.5.2

$(- 1) \cdot (0) + b$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + b = 1$

단계 12.5.2.2

$0$ 를 $b$ 에 더합니다.

$b = 1$

단계 13

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = - x + 1$

단계 14