미적분 예제

$f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ , $(1, - 3)$

단계 1

해당 점이 주어진 함수의 그래프 위에 있는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x = 1$ 에서 $f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = ({(1)}^{3} - 3 + 1) ((1) + 2)$

단계 1.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = (1 - 3 + 1) ((1) + 2)$

단계 1.1.2.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (1) = (- 2 + 1) ((1) + 2)$

단계 1.1.2.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = - 1 ((1) + 2)$

단계 1.1.2.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (1) = - 1 \cdot 3$

단계 1.1.2.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 3$

단계 1.1.2.6

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 1.2

$- 3 = - 3$ 이므로 그래프 위에 있는 점입니다.

그래프 위에 있는 점입니다

단계 2

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ 의 도함수 $=$ $m$

단계 3

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 4

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 4.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = ({(x + h)}^{3} - 3 + 1) ((x + h) + 2)$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

이항정리 이용

$f (x + h) = (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 + 1) ((x + h) + 2)$

단계 4.1.2.2

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x + h) = (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2) ((x + h) + 2)$

단계 4.1.2.3

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2) (x + h + 2)$ 를 전개합니다.

$f (x + h) = x^{3} x + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.1.1

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

단계 4.1.2.4.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x + h) = x^{3 + 1} + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.1.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 \cdot x^{3} + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 (x \cdot x^{2}) h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

단계 4.1.2.4.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{1 + 2} h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.4

지수를 더하여 $h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.4.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} (h \cdot h) + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.4.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 (x \cdot x) h^{2} + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.7

지수를 더하여 $h^{2}$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.7.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x (h \cdot h^{2}) + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.7.2

$h$ 에 $h^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.7.2.1

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x (h \cdot h^{2}) + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{1 + 2} + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.8

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.9

지수를 더하여 $h^{3}$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.9.1

$h^{3}$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1.9.1.1

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.9.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3 + 1} + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.9.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.10

$h^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 \cdot h^{3} - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

단계 4.1.2.4.1.11

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.1.2.4.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.2.1

$x^{3} h$ 를 $3 x^{3} h$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.1.2.4.2.2

$3 x^{2} h^{2}$ 를 $3 x^{2} h^{2}$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.1.2.5

$3 x h^{3}$ 를 $h^{3} x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 h^{3} x + h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.1.2.5.2

$3 h^{3} x$ 를 $h^{3} x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.1.2.6

최종 답은 $x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$ 입니다.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.2.2

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.2.3

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.2.4

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

단계 4.2.5

$- 2 x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.6

$2 x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.7

$6 h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.8

$6 h^{2} x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.9

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.10

$4 h x^{3}$ 를 옮깁니다.

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.11

$6 h^{2} x^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.2.12

$4 h^{3} x$ 와 $h^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

단계 4.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4$

단계 5

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - (x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4)}{h}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - (2 x^{3}) - (- 2 x) + 4}{h}$

단계 6.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} - (- 2 x) + 4}{h}$

단계 6.1.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

단계 6.1.2.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

단계 6.1.3

$x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 + 0 - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

단계 6.1.4

$h^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

단계 6.1.5

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 0 + 2 x + 4}{h}$

단계 6.1.6

$h^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 2 x + 4}{h}$

단계 6.1.7

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h + 0 - 4 + 4}{h}$

단계 6.1.8

$h^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 4 + 4}{h}$

단계 6.1.9

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h + 0}{h}$

단계 6.1.10

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.11.1

$h^{4}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.2

$4 h^{3} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.3

$6 h^{2} x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.4

$4 h x^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.5

$2 h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.6

$6 h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.7

$6 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) - 2 h}{h}$

단계 6.1.11.8

$- 2 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.9

$h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.10

$h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.11

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.12

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (2 h^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.13

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2}) + h (6 h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.14

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x) + h (6 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

단계 6.1.11.15

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2}) + h \cdot - 2$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2)}{h}$

단계 6.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2)}{h}$

단계 6.2.1.2

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

단계 6.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

단계 6.2.2.2

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

단계 6.2.2.3

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2} - 2$

단계 6.2.2.4

$2 h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2} - 2$

단계 6.2.2.5

$6 x h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

단계 6.2.2.6

$h^{3}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

단계 6.2.2.7

$4 x h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

단계 6.2.2.8

$6 x^{2} h$ 와 $4 x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

단계 7

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 8

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4 x^{3}$ 의 극한을 구합니다.

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 9

$6 x^{2}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 10

$4 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 11

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 12

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 13

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6 x^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 14

$6 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 15

$2$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 16

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2$

단계 17

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

단계 18

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1