미적분 예제

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 4 = 0$

단계 2.4

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} = 4$

단계 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 2.6

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 2.6.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 2.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 2.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 2.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 2.8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

단계 2.9

해를 하나로 합합니다.

$x = - 4, 2, - 2$

단계 2.10

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x \cdot x - 4 = 0$

단계 2.10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 4 = 0$

단계 2.10.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} = 4$

단계 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 2.10.2.4

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 2.10.2.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 2.10.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 2.10.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 2.10.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 2.10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

단계 2.11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

단계 2.12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 2.12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

단계 2.12.1.3

좌변 $- 0.0625$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.12.2

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.2.1

$- 4 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 2.12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

단계 2.12.2.3

좌변 $0.2$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.12.3

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.3.1

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

단계 2.12.3.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.12.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 2.12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

단계 2.12.4.3

좌변 $0.\overline{6}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 2.13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 \leq x < - 2$ 또는 $x > 2$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x \cdot x - 4 = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 4 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} = 4$

단계 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 4.4

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 4.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 4.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 4.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 4.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

단계 6

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${y | y \geq 0}$

단계 7

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

치역: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

단계 8