미적분 예제

$32 e^{x} - e^{2 x}$

단계 1

$32 e^{x} - e^{2 x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $32 e^{x} - e^{2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 e^{x}$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

단계 2.1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

단계 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{2 x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.1.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.1.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

단계 2.1.1.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

단계 2.1.1.3.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

단계 2.1.1.3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.2.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 e^{x}$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

단계 2.1.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

단계 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{2 x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.1.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.2.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.1.2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.1.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

단계 2.1.2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

단계 2.1.2.3.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

단계 2.1.2.3.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ 입니다.

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

단계 2.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

$e^{2 x}$ 을 ${(e^{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

단계 2.2.2.2

$u = e^{x}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{x}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$32 u - 4 u^{2} = 0$

단계 2.2.2.3

$32 u - 4 u^{2}$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.3.1

$32 u$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

단계 2.2.2.3.2

$- 4 u^{2}$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

단계 2.2.2.3.3

$4 u (8) + 4 u (- u)$ 에서 $4 u$ 를 인수분해합니다.

$4 u (8 - u) = 0$

단계 2.2.2.4

$u$ 를 모두 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

단계 2.2.4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 2.2.4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.2.5

$8 - e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.5.1

$8 - e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$8 - e^{x} = 0$

단계 2.2.5.2

$8 - e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.5.2.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$- e^{x} = - 8$

단계 2.2.5.2.2

$- e^{x} = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.2.2.1

$- e^{x} = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 2.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 2.2.5.2.2.2.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 2.2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.2.2.3.1

$- 8$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$e^{x} = 8$

단계 2.2.5.2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

단계 2.2.5.2.4

왼편을 확장합니다.

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단계 2.2.5.2.4.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (8)$

단계 2.2.5.2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (8)$

단계 2.2.5.2.4.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (8)$

단계 2.2.6

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \ln (8)$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

단계 5

$(- \infty, \ln (8))$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

단계 5.2.1.2

$32$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

단계 5.2.1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

단계 5.2.1.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

단계 5.2.1.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 32 - 4$

단계 5.2.2

$32$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = 28$

단계 5.2.3

최종 답은 $28$ 입니다.

$28$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \ln (8))$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, \ln (8))$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(\ln (8), \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

단계 6.2.2

최종 답은 $32 e^{5} - 4 e^{10}$ 입니다.

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

단계 6.3

$f'' (5)$ 이 음수이므로 그래프는 $(\ln (8), \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(\ln (8), \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, \ln (8))$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(\ln (8), \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8