미적분 예제

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[0, 6]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{4 x + 1}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$4 x + 1 \geq 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$4 x \geq - 1$

단계 1.2.2

$4 x \geq - 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$4 x \geq - 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

단계 1.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{- 1}{4}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x \geq - \frac{1}{4}$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

구간 표기:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 6]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

단계 5

먼저 $u = 4 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 4 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$4 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 + 0$

단계 5.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 5.2

$u = 4 x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 5.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = 4 x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

단계 5.5

간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 24 + 1$

단계 5.5.2

$24$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 25$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

단계 6

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

단계 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$25$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.4

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $125$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.6

$2$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

단계 10.2.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

단계 10.2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

단계 10.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

단계 10.2.10

$250$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

단계 10.2.11

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{248}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

단계 10.2.12

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

단계 10.2.13

$248$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.13.1

$248$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

단계 10.2.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.13.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

단계 10.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

단계 10.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

단계 11

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

단계 11.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

단계 12

항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.1.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

단계 12.1.2

$62$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

단계 12.1.3

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

단계 12.1.4

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

단계 12.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{31}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

단계 12.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{31}{9}$

단계 13