미적분 예제

$y = x^{4 \cos (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{4 \cos (x)}$ 을 $e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}]$

단계 1.2

$4 \cos (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{4 \cos (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 \cos (x) \ln (x)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 \cos (x) \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 \cos (x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $4 \cos (x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

단계 3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cos (x) \ln (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ 입니다.

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} (4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

단계 3.2

$e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cdot e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

단계 4

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 6

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 7

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

단계 8.2

항을 묶습니다.

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단계 8.2.1

$\frac{\cos (x)}{x}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{x} e^{4 \cos (x) \ln (x)} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

단계 8.2.2

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{x}$ 와 $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x) \cdot 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

단계 8.2.3

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

단계 8.2.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$