미적분 예제

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.5

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

단계 1.1.6

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

단계 1.2

$f (t)$ 의 $t$ 에 대한 1차 도함수는 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ 입니다.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

단계 2.2

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4 t^{3}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

단계 2.2.2

$3 t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

단계 2.2.3

$2 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

단계 2.2.4

$t (4 t^{2}) + t (3 t)$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

단계 2.2.5

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

단계 2.4

$t$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$t = 0$

단계 2.5

$4 t^{2} + 3 t + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$4 t^{2} + 3 t + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

단계 2.5.2

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ 을 $t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.5.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 4$ , $b = 3$ , $c = 2$ 을 대입하여 $t$ 를 구합니다.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.1.2.2

$- 16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.1.3

$9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.1.2.2

$- 16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.1.3

$9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.4.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.4.5

$i \sqrt{23}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

단계 2.5.2.4.6

$- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

단계 2.5.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.1.2.2

$- 16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.1.3

$9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

단계 2.5.2.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.5.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.5.5

$- i \sqrt{23}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

단계 2.5.2.5.6

$- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

단계 2.5.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.5.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

단계 2.6

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $t$ 값에서 $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$t = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$t$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 0 + 0 + 1$

단계 4.1.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0 + 1$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 1$

단계 4.1.2.2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(0, 1)$

단계 5