미적분 예제

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.1.3

$2 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y^{2}$ 입니다.

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$4 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 y$ 입니다.

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.4.2

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

단계 1.1.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

단계 1.1.5.2

$2 x + 2 y + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x + 2 y + 2 + 0$

단계 1.1.5.3

$2 x + 2 y + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x + 2 y + 2$ 입니다.

$2 x + 2 y + 2$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x + 2 y + 2 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x + 2 y + 2 = 0$

단계 2.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$2 x + 2 = - 2 y$

단계 2.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$2 x = - 2 y - 2$

단계 2.3

$2 x = - 2 y - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2 x = - 2 y - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1.1

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3.1.1.2.4

$- y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3.1.2

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = - y - 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - y - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- y - 1$ 를 대입합니다.

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

${(- y - 1)}^{2}$ 을 $(- y - 1) (- y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- y - 1) (- y - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.4

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.5

$- y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.5.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.6

$- 1 (- y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.6.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.1.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.3.2

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.8

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.8.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.8.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.10

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.1.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1.1

$2 y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.2.1.2

$y^{2} + 2 y + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.2.1.3

$2 y$ 에서 $2 y$ 을 뺍니다.

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.2.1.4

$y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.2.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

단계 4.1.2.2.3

$- 2 y$ 를 $4 y$ 에 더합니다.

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

단계 4.1.2.2.4

$- 1$ 를 $7$ 에 더합니다.

$y^{2} + 2 y + 6$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

단계 5