미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

단계 1

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 1.2

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 1.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{n}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

단계 3

$\frac{1}{n + 1}$ 와 $u^{n + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

단계 4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$