미적분 예제

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = - x - 6$ , $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

합의 법칙에 의해 $- x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.5

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.6.3

$u$ 를 모두 $x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.7

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.9

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.11

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.12

${(x - 6)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.13

$- 1 {(x - 6)}^{2}$ 을 $- {(x - 6)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.14

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.15

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.16

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.17

${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.17.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.17.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.18

$- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ 에서 $x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.2.18.1

$- {(x - 6)}^{2}$ 에서 $x - 6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.18.2

$- 2 (- x - 6) (x - 6)$ 에서 $x - 6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.18.3

$(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ 에서 $x - 6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.19

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.19.1

${(x - 6)}^{4}$ 에서 $x - 6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.19.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.19.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.3

항을 묶습니다.

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단계 1.1.4.3.1

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.3.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.3.3

$- 2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.3.4

$- x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.3.5

$6$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

단계 1.1.4.3.6

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x + 18 = 0$

단계 2.3

방정식의 양변에서 $18$ 를 뺍니다.

$x = - 18$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 6)}^{3} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 18$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- 18$ 를 대입합니다.

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 1$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

단계 4.1.2.1.2

$18$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

단계 4.1.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.2.1.1

$- 18$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

단계 4.1.2.2.1.2

$- 24$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{12}{576} + 9$

단계 4.1.2.2.2

$12$ 및 $576$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.2.1

$12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

단계 4.1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.2.2.1

$576$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

단계 4.1.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

단계 4.1.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{48} + 9$

단계 4.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{48}{48}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

단계 4.1.2.4

$9$ 와 $\frac{48}{48}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

단계 4.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

단계 4.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$9$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 432}{48}$

단계 4.1.2.6.2

$1$ 를 $432$ 에 더합니다.

$\frac{433}{48}$

단계 4.2

$x = 6$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $6$ 를 대입합니다.

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

단계 4.2.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

단계 4.2.2.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 18, \frac{433}{48})$

단계 5