미적분 예제

$f (x) = - x^{3} - 12 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} - 12 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} - 12 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} - 24 x$ 입니다.

$- 3 x^{2} - 24 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} - 24 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} - 24 x = 0$

단계 2.2

$- 3 x^{2} - 24 x$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x \cdot x - 24 x = 0$

단계 2.2.2

$- 24 x$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot 8 = 0$

단계 2.2.3

$- 3 x (x) - 3 x (8)$ 에서 $- 3 x$ 를 인수분해합니다.

$- 3 x (x + 8) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 8 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 2.6

$- 3 x (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 8$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- x^{3} - 12 x^{2}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$- {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 0 - 12 {(0)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 12 {(0)}^{2}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 12 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.2

$x = - 8$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $- 8$ 를 대입합니다.

$- {(- 8)}^{3} - 12 {(- 8)}^{2}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1.1

$- 8$ 를 $3$ 승 합니다.

$- - 512 - 12 {(- 8)}^{2}$

단계 4.2.2.1.2

$- 1$ 에 $- 512$ 을 곱합니다.

$512 - 12 {(- 8)}^{2}$

단계 4.2.2.1.3

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$512 - 12 \cdot 64$

단계 4.2.2.1.4

$- 12$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$512 - 768$

단계 4.2.2.2

$512$ 에서 $768$ 을 뺍니다.

$- 256$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (- 8, - 256)$

단계 5