미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

$x^{2} - 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.2

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.3

$x \cdot x + x \cdot - 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x (x - 2) = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.2.3

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.3.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.2.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.2.4

$x (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ 을 $x = 0$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

단계 3.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

단계 3.2.3

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$f (0) = 0$

단계 3.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

원래 함수 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ 을 $x = 2$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

단계 4.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (2) = \frac{4}{1}$

단계 4.2.3

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (2) = 4$

단계 4.2.4

최종 답은 $4$ 입니다.

$4$

단계 5

함수 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ 의 수평 접선은 $y = 0, y = 4$ 입니다.

$y = 0, y = 4$

단계 6