미적분 예제

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

단계 1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.3.3

${(x - 9)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 9$ 로 바꿉니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.4.3

$u$ 를 모두 $x - 9$ 로 바꿉니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.5.2

${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ 에서 $x - 9$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.2.1

${(x - 9)}^{2}$ 에서 $x - 9$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.5.2.2

$- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ 에서 $x - 9$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.5.2.3

$(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ 에서 $x - 9$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

단계 1.6

공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1

${(x - 9)}^{4}$ 에서 $x - 9$ 를 인수분해합니다.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

단계 1.6.2

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

단계 1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.7

합의 법칙에 의해 $x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.9

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.10

항을 간단히 합니다.

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단계 1.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.10.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.10.3

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.10.4

$6$ 와 $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11

간단히 합니다.

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단계 1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.11.2.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.2.2

$6$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.3

$- 6 x - 54$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.11.3.1

$- 6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.3.2

$- 54$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.3.3

$6 (- x) + 6 (- 9)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.5

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.6

$- (x) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.7

$- (x + 9)$ 을 $- 1 (x + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 1.11.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$6 (x + 9) = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.1

$6 (x + 9) = 0$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$6 (x + 9) = 0$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

단계 2.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

단계 2.2.1.2.1.2

$x + 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + 9 = \frac{0}{6}$

단계 2.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.3.1

$0$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$x + 9 = 0$

단계 2.2.2

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x = - 9$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ 을 $x = - 9$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 9$ 을 대입합니다.

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$6$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

단계 3.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$- 9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

단계 3.2.2.2

$- 18$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

단계 3.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 3.2.3.1

$- 54$ 및 $324$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1.1

$- 54$ 에서 $54$ 를 인수분해합니다.

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

단계 3.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1.2.1

$324$ 에서 $54$ 를 인수분해합니다.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

단계 3.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

단계 3.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

단계 3.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

단계 3.2.4

최종 답은 $- \frac{1}{6}$ 입니다.

$- \frac{1}{6}$

단계 4

함수 $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ 의 수평 접선은 $y = - \frac{1}{6}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{6}$

단계 5