미적분 예제

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x + 4}$ 을(를) ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 1.1.8

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 1.1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 1.1.10

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

단계 1.1.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

단계 1.1.11.2

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ 을(를) ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1.1

$3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.3.1

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1.1

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나눕니다.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

단계 3.3.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1.2.1

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

단계 3.3.3.1.2.1.2

${(x + 4)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

단계 3.3.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1.3.1

$0$ 을 $27$ 로 나눕니다.

${(x + 4)}^{2} = 0$

단계 3.3.3.2

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 3.3.3.3

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\sqrt[3]{x + 4}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 4$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 4$ 를 대입합니다.

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\sqrt[3]{0}$

단계 4.1.2.2

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt[3]{0^{3}}$

단계 4.1.2.3

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$0$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- 4, 0)$

단계 5