미적분 예제

$f (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = 4 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $4 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

단계 1.1.7

합의 법칙에 의해 $4 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 1.1.8

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 1.1.9

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

단계 1.1.12

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.12.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

단계 1.1.12.2

$- 2$ 와 $\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

단계 1.1.12.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

단계 1.1.12.4

$\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.1.12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ 입니다.

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 x = 0$

단계 2.3

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{4 - x^{2}} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{4 - x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ 을(를) ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

$3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 {(4 - x^{2})}^{1} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$27 (4 - x^{2}) = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$27 \cdot 4 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.6

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.6.1

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$108 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.6.2

$- 1$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$108 - 27 x^{2} = 0^{3}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$108 - 27 x^{2} = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

방정식의 양변에서 $108$ 를 뺍니다.

$- 27 x^{2} = - 108$

단계 3.3.3.2

$- 27 x^{2} = - 108$ 의 각 항을 $- 27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$- 27 x^{2} = - 108$ 의 각 항을 $- 27$ 로 나눕니다.

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

단계 3.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

$- 27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

단계 3.3.3.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 108}{- 27}$

단계 3.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1

$- 108$ 을 $- 27$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 3.3.3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 3.3.3.4

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 3.3.3.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 3.3.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 3.3.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 3.3.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 3.4

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 2, x = 2$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(4 - {(0)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

${(4 - 0)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(4 + 0)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.2.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

${(4 - {(- 2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.2.2.2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.2.2.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.2.2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$0^{2}$

단계 4.2.2.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0$

단계 4.3

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

${(4 - {(2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.3.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0^{\frac{2}{3}}$

단계 4.3.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.3.2.2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.3.2.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

단계 4.3.2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$0^{2}$

단계 4.3.2.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 4^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

단계 5