미적분 예제

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 3)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (x - 3))$

단계 1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 3))$

단계 1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 3))$

단계 1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

단계 1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

단계 1.1.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

단계 1.1.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

단계 1.1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (x - 3))$

단계 1.1.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 3))$

단계 1.1.4

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.1.5.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.1.5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.1.5.4.2

$x^{2} - 2 x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.1.5.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.5.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.5.7

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.5.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.5.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.5.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + 0)$

단계 1.1.5.11

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2)$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

단계 1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

단계 1.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4.5

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

단계 1.1.6.4.7

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

단계 1.1.6.4.8

$- 6 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 8 x + 6$

단계 1.1.6.4.9

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - 8 x + 6$

단계 1.1.6.4.10

$- 2 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 1 + 6$

단계 1.1.6.4.11

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} - 10 x + 7$ 입니다.

$3 x^{2} - 10 x + 7$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

단계 2.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ 이고 합이 $b = - 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 10 x$ 에서 $- 10$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 10$ 를 $- 3$ + $- 7$ 로 다시 씁니다.

$3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7 = 0$

단계 2.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7 = 0$

단계 2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7 = 0$

단계 2.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$3 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 0$

단계 2.2.3

최대공약수 $x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

단계 2.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

$3 x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$3 x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 7 = 0$

단계 2.5.2

$3 x - 7 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$3 x = 7$

단계 2.5.2.2

$3 x = 7$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$3 x = 7$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{7}{3}$

단계 2.6

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, \frac{7}{3}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(x - 1)}^{2} (x - 3)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

${((1) - 1)}^{2} ((1) - 3)$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0^{2} ((1) - 3)$

단계 4.1.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 ((1) - 3)$

단계 4.1.2.3

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$0 \cdot - 2$

단계 4.1.2.4

$0$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.2

$x = \frac{7}{3}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $\frac{7}{3}$ 를 대입합니다.

${((\frac{7}{3}) - 1)}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

${(\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.2

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

${(\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(\frac{7 - 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.4.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

${(\frac{7 - 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.4.2

$7$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

${(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.5

$\frac{4}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4^{2}}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{16}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.7

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{16}{9} ((\frac{7}{3}) - 3)$

단계 4.2.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

단계 4.2.2.9

$- 3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

단계 4.2.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 3 \cdot 3}{3}$

단계 4.2.2.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.11.1

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 9}{3}$

단계 4.2.2.11.2

$7$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

단계 4.2.2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$

단계 4.2.2.13

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.13.1

$\frac{16}{9}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

단계 4.2.2.13.2

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{32}{9 \cdot 3}$

단계 4.2.2.13.3

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{32}{27}$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(1, 0), (\frac{7}{3}, - \frac{32}{27})$

단계 5