미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{2} + 25$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2.3

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.1.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.1.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

단계 1.1.9

간단히 합니다.

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단계 1.1.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

단계 1.1.9.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.2.1

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

단계 1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

단계 1.1.9.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.9.3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

단계 1.1.9.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

단계 2.3.2

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.2.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 2.3.2.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 2.3.3

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.3.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.3.4

$(x + 5) (x - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 5, 5$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{x^{2} + 25}{x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 5$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 5$ 를 대입합니다.

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{25 + 25}{- 5}$

단계 4.1.2.1.2

$25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{50}{- 5}$

단계 4.1.2.2

$50$ 을 $- 5$ 로 나눕니다.

$- 10$

단계 4.2

$x = 5$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{25 + 25}{5}$

단계 4.2.2.1.2

$25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{50}{5}$

단계 4.2.2.2

$50$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$10$

단계 4.3

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

단계 4.3.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(- 5, - 10), (5, 10)$

단계 5