미적분 예제

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = | x |$ , $g (x) = 25 x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $25 x^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

단계 1.1.1.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $25 x^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $25 x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.1.2.2

$25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $25 x^{2}$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.1.2.4

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.1.2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

단계 1.1.2.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$50 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

단계 1.1.2.6.2

$50$ 와 $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ 을 묶습니다.

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

단계 1.1.2.6.3

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.3.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.3.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.3.2

$25$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.1.3.3.3

$50$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ 입니다.

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$1250 x^{3} - 200 x$ 에서 $50 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$1250 x^{3}$ 에서 $50 x$ 를 인수분해합니다.

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

단계 2.3.1.1.2

$- 200 x$ 에서 $50 x$ 를 인수분해합니다.

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

단계 2.3.1.1.3

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ 에서 $50 x$ 를 인수분해합니다.

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

단계 2.3.1.2

$25 x^{2}$ 을 ${(5 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

단계 2.3.1.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 2.3.1.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

단계 2.3.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

단계 2.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

단계 2.3.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.3.4

$5 x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$5 x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x + 2 = 0$

단계 2.3.4.2

$5 x + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$5 x = - 2$

단계 2.3.4.2.2

$5 x = - 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.1

$5 x = - 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

단계 2.3.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

단계 2.3.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{5}$

단계 2.3.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{2}{5}$

단계 2.3.5

$5 x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$5 x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x - 2 = 0$

단계 2.3.5.2

$5 x - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$5 x = 2$

단계 2.3.5.2.2

$5 x = 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$5 x = 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

단계 2.3.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

단계 2.3.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2}{5}$

단계 2.3.6

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

단계 3.2.2

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$25 x^{2} - 4 = 0$

단계 3.2.3

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$25 x^{2} = 4$

단계 3.2.4

$25 x^{2} = 4$ 의 각 항을 $25$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$25 x^{2} = 4$ 의 각 항을 $25$ 로 나눕니다.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

단계 3.2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

단계 3.2.4.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{4}{25}$

단계 3.2.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

단계 3.2.6

$\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$\sqrt{\frac{4}{25}}$ 을 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

단계 3.2.6.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

단계 3.2.6.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

단계 3.2.6.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

단계 3.2.6.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{2}{5}$

단계 3.2.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{2}{5}$

단계 3.2.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{2}{5}$

단계 3.2.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

단계 3.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $| 25 x^{2} - 4 |$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

단계 4.1.2.1.2

$25$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$| 0 - 4 |$

단계 4.1.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$| - 4 |$

단계 4.1.2.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 4$ 과 $0$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$4$

단계 4.2

$x = - \frac{2}{5}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- \frac{2}{5}$ 를 대입합니다.

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$- \frac{2}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

단계 4.2.2.1.1.2

$\frac{2}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

단계 4.2.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

단계 4.2.2.1.3

$\frac{2^{2}}{5^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

단계 4.2.2.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

단계 4.2.2.1.5

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

단계 4.2.2.1.6

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

단계 4.2.2.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$| 4 - 4 |$

단계 4.2.2.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$| 0 |$

단계 4.2.2.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.3

$x = \frac{2}{5}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $\frac{2}{5}$ 를 대입합니다.

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$\frac{2}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

단계 4.3.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

단계 4.3.2.1.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

단계 4.3.2.1.4

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

단계 4.3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| 4 - 4 |$

단계 4.3.2.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$| 0 |$

단계 4.3.2.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

단계 5