미적분 예제

$f (x) = \frac{- 4 x}{x + 9}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{x + 9}]$

단계 1.1.1.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4 x}{x + 9}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \frac{(x + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$x + 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{x + 9 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

합의 법칙에 의해 $x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$- 4 \frac{x + 9 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 \frac{x + 9 - x \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{x + 9 - x}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- 4 \frac{0 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.4

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$- 4 \frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.5

$- 4$ 와 $\frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.6.6.1

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 36}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$36 = 0$

단계 2.3

$36 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 9)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 9 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x = - 9$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{- 4 x}{x + 9}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 9$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 9$ 를 대입합니다.

$\frac{- 4 \cdot - 9}{(- 9) + 9}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 \cdot - 9}{0}$

단계 4.1.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 5

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음