미적분 예제

$f (x) = 5 x^{3} + 15 x - 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{3} + 15 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [15 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$15 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{2} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.3

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$15 x^{2} + 15 + 0$

단계 1.1.4.2

$15 x^{2} + 15$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 15 x^{2} + 15$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $15 x^{2} + 15$ 입니다.

$15 x^{2} + 15$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $15 x^{2} + 15 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$15 x^{2} + 15 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$15 x^{2} = - 15$

단계 2.3

$15 x^{2} = - 15$ 의 각 항을 $15$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$15 x^{2} = - 15$ 의 각 항을 $15$ 로 나눕니다.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$15$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 15}{15}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 15$ 을 $15$ 로 나눕니다.

$x^{2} = - 1$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 2.5

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음