미적분 예제

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.4.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.5.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

단계 1.1.5.2

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ 입니다.

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$12 x^{3}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 12 x = 0$

단계 2.2.1.2

$- 24 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x) + 12 x = 0$

단계 2.2.1.3

$12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x) + 12 x (1) = 0$

단계 2.2.1.4

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2} - 2 x) + 12 x (1) = 0$

단계 2.2.1.5

$12 x (x^{2} - 2 x) + 12 x (1)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

단계 2.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

단계 2.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 2.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 2.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$12 x {(x - 1)}^{2} = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

${(x - 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

${(x - 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 2.5.2

${(x - 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$12 x {(x - 1)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$3 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

단계 4.1.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 8 \cdot 0 + 6 {(0)}^{2} + 2$

단계 4.1.2.1.4

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 6 {(0)}^{2} + 2$

단계 4.1.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 0 + 6 \cdot 0 + 2$

단계 4.1.2.1.6

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0 + 2$

단계 4.1.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0 + 2$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 2$

단계 4.1.2.2.3

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$3 {(1)}^{4} - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \cdot 1 - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

단계 4.2.2.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

단계 4.2.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 - 8 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 2$

단계 4.2.2.1.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 8 + 6 {(1)}^{2} + 2$

단계 4.2.2.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 - 8 + 6 \cdot 1 + 2$

단계 4.2.2.1.6

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 8 + 6 + 2$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 5 + 6 + 2$

단계 4.2.2.2.2

$- 5$ 를 $6$ 에 더합니다.

$1 + 2$

단계 4.2.2.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, 2), (1, 3)$

단계 5