미적분 예제

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.8

$- 4$ 와 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.9

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.10

$- 12 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.2.11.4

$- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.3.3

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$13$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $13$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $13$ 입니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

단계 1.1.4.2

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ 입니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $24$ 를 뺍니다.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

단계 2.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1.1

$- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4.1.1.2

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4.1.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4.1.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4.1.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4.1.1.4

간단히 합니다.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- 24$ 를 $2$ 승 합니다.

$36 x = 576$

단계 2.5

$36 x = 576$ 의 각 항을 $36$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$36 x = 576$ 의 각 항을 $36$ 로 나눕니다.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$36$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{576}{36}$

단계 2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$576$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$x = 16$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x < 0$

단계 3.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 16$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $16$ 를 대입합니다.

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2.1.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2.1.5

$- 4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- 256 + 24 (16) + 13$

단계 4.1.2.1.6

$24$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 256 + 384 + 13$

단계 4.1.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 256$ 를 $384$ 에 더합니다.

$128 + 13$

단계 4.1.2.2.2

$128$ 를 $13$ 에 더합니다.

$141$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(16, 141)$

단계 5