미적분 예제

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y (x + 1) + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = y$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.7

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y + (x + 1) y' + 2 x$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

단계 2.4.2

$y'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + x y' + y' + 2 x$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$x y' + 2 x + y + y'$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x y' + y + y' = - 2 x$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x y' + y' = - 2 x - y$

단계 5.2

$x y' + y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x + y' = - 2 x - y$

단계 5.2.2

$y'$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' x + y' = - 2 x - y$

단계 5.2.3

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

단계 5.2.4

$y' x + y' \cdot 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

단계 5.3

$y' (x + 1) = - 2 x - y$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$y' (x + 1) = - 2 x - y$ 의 각 항을 $x + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

단계 5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

단계 5.3.3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

단계 5.3.3.2.2

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

단계 5.3.3.2.3

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

단계 5.3.3.2.4

$- (2 x) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

단계 5.3.3.2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.2.5.1

$- (2 x + y)$ 을 $- 1 (2 x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

단계 5.3.3.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$