미적분 예제

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = x y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.1.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

단계 2.7

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

단계 2.8

간단히 합니다.

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단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

단계 2.8.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

단계 5.2.1.2

식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

단계 5.2.1.2.2

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $y' e^{x^{2} + y}$ 를 뺍니다.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

단계 5.4

방정식의 양변에서 $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ 를 뺍니다.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

단계 5.5

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

단계 5.5.2

$- y' e^{x^{2} + y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

단계 5.5.3

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

단계 5.6

$- 1 e^{x^{2} + y}$ 을 $- e^{x^{2} + y}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

단계 5.7

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ 의 각 항을 $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ 의 각 항을 $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

단계 5.7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.7.2.1

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.7.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

단계 5.7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.7.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

단계 5.7.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$