미적분 예제

$f (x) = 2 x^{6} - 6 x^{4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{6} - 6 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{6}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

단계 1.1.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

단계 1.1.2.3

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{4}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$12 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{5} - 6 (4 x^{3})$

단계 1.1.3.3

$4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{5} - 24 x^{3}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{5} - 24 x^{3}$ 입니다.

$12 x^{5} - 24 x^{3}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{5} - 24 x^{3} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{5} - 24 x^{3} = 0$

단계 2.2

$12 x^{5} - 24 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 x^{5}$ 에서 $12 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{3} (x^{2}) - 24 x^{3} = 0$

단계 2.2.2

$- 24 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{3} (x^{2}) + 12 x^{3} (- 2) = 0$

단계 2.2.3

$12 x^{3} (x^{2}) + 12 x^{3} (- 2)$ 에서 $12 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

단계 2.4

$x^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} = 0$

단계 2.4.2

$x^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 2.4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x^{2} - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

단계 2.5.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

단계 2.5.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

단계 2.5.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

단계 2.5.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 2.6

$12 x^{3} (x^{2} - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $2 x^{6} - 6 x^{4}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$2 {(0)}^{6} - 6 {(0)}^{4}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 \cdot 0 - 6 {(0)}^{4}$

단계 4.1.2.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 6 {(0)}^{4}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 6 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$- 6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.2

$x = \sqrt{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $\sqrt{2}$ 를 대입합니다.

$2 {(\sqrt{2})}^{6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

${\sqrt{2}}^{6}$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$2 \cdot 2^{\frac{6}{2}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 2^{\frac{3}{1}} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.1.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \cdot 2^{3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.2.1

$2$ 에 $2^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} \cdot 2^{3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 3} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.2.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2^{4} - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 6 {(\sqrt{2})}^{4}$

단계 4.2.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$16 - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

단계 4.2.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

단계 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

단계 4.2.2.1.4.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.4.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

단계 4.2.2.1.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

단계 4.2.2.1.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

단계 4.2.2.1.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

단계 4.2.2.1.4.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$16 - 6 \cdot 2^{2}$

단계 4.2.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - 6 \cdot 4$

단계 4.2.2.1.6

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 - 24$

단계 4.2.2.2

$16$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 8$

단계 4.3

$x = - \sqrt{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $- \sqrt{2}$ 를 대입합니다.

$2 {(- \sqrt{2})}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 ({(- 1)}^{6} {\sqrt{2}}^{6}) - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 를 $6$ 승 합니다.

$2 (1 {\sqrt{2}}^{6}) - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.3

${\sqrt{2}}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 {\sqrt{2}}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4

${\sqrt{2}}^{6}$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$2 \cdot 2^{\frac{6}{2}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 2^{\frac{3}{1}} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.4.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \cdot 2^{3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.5

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.5.1

$2$ 에 $2^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.5.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} \cdot 2^{3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 3} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.5.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2^{4} - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.6

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 6 {(- \sqrt{2})}^{4}$

단계 4.3.2.1.7

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$16 - 6 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4})$

단계 4.3.2.1.8

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 6 (1 {\sqrt{2}}^{4})$

단계 4.3.2.1.9

${\sqrt{2}}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 - 6 {\sqrt{2}}^{4}$

단계 4.3.2.1.10

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$16 - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

단계 4.3.2.1.10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

단계 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{4}{2}}$

단계 4.3.2.1.10.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.10.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

단계 4.3.2.1.10.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.10.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

단계 4.3.2.1.10.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

단계 4.3.2.1.10.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$16 - 6 \cdot 2^{\frac{2}{1}}$

단계 4.3.2.1.10.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$16 - 6 \cdot 2^{2}$

단계 4.3.2.1.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - 6 \cdot 4$

단계 4.3.2.1.12

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 - 24$

단계 4.3.2.2

$16$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 8$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 8), (- \sqrt{2}, - 8)$

단계 5