미적분 예제

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = y + e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y + e^{2 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

단계 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $y + e^{2 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $y + e^{2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

단계 2.5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

단계 2.5.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

단계 2.6.2

$y' + 2 e^{2 x}$ 에 $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 3.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

양변에 $y + e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$y + e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

단계 5.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $2 e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$