미적분 예제

$f (x) = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 2$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 27$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 27 x^{2}$ 의 미분은 $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.4.3

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} (2)$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

단계 1.1.5.2

$36 x^{2} - 54 x - 36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 36 x^{2} - 54 x - 36$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $36 x^{2} - 54 x - 36$ 입니다.

$36 x^{2} - 54 x - 36$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $36 x^{2} - 54 x - 36 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$36 x^{2} - 54 x - 36 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$36 x^{2} - 54 x - 36$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$36 x^{2}$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 54 x$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 36$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

단계 2.2.1.4

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

단계 2.2.1.5

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 이고 합이 $b = - 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$- 3 x$ 에서 $- 3$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

단계 2.2.2.1.1.2

$- 3$ 를 $1$ + $- 4$ 로 다시 씁니다.

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

단계 2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

단계 2.2.2.1.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

단계 2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

단계 2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.4

$2 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 1 = 0$

단계 2.4.2

$2 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 2.4.2.2

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.6

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 2$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - \frac{1}{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 를 대입합니다.

$12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.5.2

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.5.3

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.5.4

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.5.5

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.6

$3$ 와 $\frac{- 1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.9

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.9.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.9.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.10

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.11

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.13

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.14

$- 27$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.16

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.16.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 2$

단계 4.1.2.1.16.2

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 2$

단계 4.1.2.1.16.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 2$

단계 4.1.2.1.16.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 2$

단계 4.1.2.1.17

$- 18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 2$

단계 4.1.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 2$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 2$

단계 4.1.2.2.3

$18$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 2$

단계 4.1.2.2.4

$\frac{18}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

단계 4.1.2.2.5

$\frac{18}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 2$

단계 4.1.2.2.6

$2$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

단계 4.1.2.2.7

$\frac{2}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

단계 4.1.2.2.8

$\frac{2}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

단계 4.1.2.2.9

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

단계 4.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 4.1.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 4.1.2.4.2

$18$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 - 27 + 72 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 4.1.2.4.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 - 27 + 72 + 8}{4}$

단계 4.1.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$- 6$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{- 33 + 72 + 8}{4}$

단계 4.1.2.5.2

$- 33$ 를 $72$ 에 더합니다.

$\frac{39 + 8}{4}$

단계 4.1.2.5.3

$39$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{47}{4}$

단계 4.2

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 2$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 2$

단계 4.2.2.1.2

$12$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 2$

단계 4.2.2.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 2$

단계 4.2.2.1.4

$- 27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$96 - 108 - 36 \cdot 2 + 2$

단계 4.2.2.1.5

$- 36$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$96 - 108 - 72 + 2$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$96$ 에서 $108$ 을 뺍니다.

$- 12 - 72 + 2$

단계 4.2.2.2.2

$- 12$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$- 84 + 2$

단계 4.2.2.2.3

$- 84$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 82$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{1}{2}, \frac{47}{4}), (2, - 82)$

단계 5