미적분 예제

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (y) = y - 3$ , $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $y - 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 가 됩니다.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$- 3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

$y^{2} - 3 y + 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $y^{2} - 3 y + 9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ 가 됩니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$- 3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 3 y$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.10

$9$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2.11

$2 y - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- y + 3) (2 y - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.3.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.6

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.2

$3 y$ 를 $6 y$ 에 더합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.2

$y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.2.2

$y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.3

$y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.4

$- 3 y$ 를 $9 y$ 에 더합니다.

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

$- y^{2} + 6 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$- y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.2

$6 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.3

$y (- y) + y \cdot 6$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

$- (y) - 1 (- 6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.7

$- (y - 6)$ 을 $- 1 (y - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.1.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$y (y - 6) = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y (y - 6)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

단계 2.3.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

단계 2.3.1.2.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$y^{2} - 6 y = 0$

단계 2.3.2

$y^{2} - 6 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot y - 6 y = 0$

단계 2.3.2.2

$- 6 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

단계 2.3.2.3

$y \cdot y + y \cdot - 6$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (y - 6) = 0$

단계 2.3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$y = 0$

$y - 6 = 0$

단계 2.3.4

$y$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y = 0$

단계 2.3.5

$y - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$y - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y - 6 = 0$

단계 2.3.5.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y = 6$

단계 2.3.6

$y (y - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$y = 0, 6$

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

단계 3.2

모든 점을 나열합니다.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

단계 4