미적분 예제

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x + 2$ , $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

$x^{2} - 3 x - 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x - 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.10

$- 10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 10$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.2.11

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - 2) (2 x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.1.6

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.1.3.2

$3 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.3

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.2.4

$- 10$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 이고 합이 $b = - 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

$- 4 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.1.2

$- 4$ 를 $- 2$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.3.3

최대공약수 $- x - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 10$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 5, 2$

단계 1.1.3.4.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

단계 1.1.3.4.2

$(x - 5) (x + 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.2

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.3

$- (x) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.4

$- (x + 2)$ 을 $- 1 (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.5

$x + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.6

$x + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

${(x + 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 1.1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 5)}^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 5$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

단계 4.1.2.1.2

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

단계 4.1.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$25$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

단계 4.1.2.2.2

$10$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\frac{(5) + 2}{0}$

단계 4.1.2.2.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{(5) + 2}{0}$

단계 4.1.2.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 5

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음